Лінійні рівняння першого порядку.в даному розділі розглянуто методи розв'язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку в загальних і спеціальних випадках, коли деякі члени дорівнюють нулю. Припустимо, що
і
є функціями
згідно з однією з основних теорем математичного аналізу, інтеграл від похідної функції також є функцією. Таким чином, досить просто проінтегрувати рівняння, щоб знайти його рішення. При цьому слід врахувати, що при обчисленні невизначеного інтеграла з'являється довільна постійна.
використовуємо метод розділення змінних. При цьому різні змінні переносяться в різні боки рівняння. Наприклад, можна перенести всі члени з в одну, а всі члени з в іншу сторону рівняння. Можна переносити також члени і , які входять у вирази похідних, однак слід пам'ятати, що це всього лише умовне позначення, яке зручно при диференціюванні складної функції. Обговорення цих членів, які називаються диференціалами, виходить за рамки даної статті.
- по-перше, необхідно перенести змінні по різні сторони знака рівності.
- Проінтегруємо обидві сторони рівняння. Після інтегрування з обох сторін з'являться довільні постійні, які можна перенести в праву частину рівняння.
-
приклад 1.1. На останньому кроці ми використовували правило і замінили на , оскільки це також довільна стала інтегрування.
для знаходження спільного рішення ми ввели інтегруючий множник у вигляді функції від , щоб звести ліву частину до загальної похідної і таким чином вирішити рівняння.
- помножимо обидві сторони на
- щоб звести ліву частину до загальної похідної, необхідно зробити наступні перетворення:
- остання рівність означає, що . Це інтегруючий множник, якого достатньо для вирішення будь-якого лінійного рівняння першого порядку. Тепер можна вивести формулу розв'язку даного рівняння відносно хоча для тренування корисно виконати всі проміжні обчислення.
-
приклад 1.2.в даному прикладі розглянуто, як знайти приватне рішення диференціального рівняння із заданими початковими умовами.
Рішення лінійних рівнянь першого порядку (запис Інтуїта – національного Відкритого університету).