1. Головна
    2. Геометрія
    3. Як отримати "п'ятірку «з геометрії (з ілюстраціями)

Як отримати "п'ятірку «з геометрії (з ілюстраціями)

Геометрія-це наука про фігури і кути, вона може виявитися складною для багатьох учнів. При першому ознайомленні багато ідей геометрії здаються абсолютно новими, що може викликати замішання. Для геометрії характерна велика кількість аксіом, теорем, визначень і символів, які необхідно вивчити, перш ніж у вас почне формуватися струнка картина. Проте правильні звички в навчанні і кілька корисних правил допоможуть вам досягти успіху у вивченні геометрії.

Частина1З 3:
Як отримувати високі оцінки

  1. Відвідуйте всі заняття.у класі Ви зможете засвоїти новий матеріал і закріпити те, що вивчали на попередніх уроках. Якщо ви не будете відвідувати заняття, вам буде набагато складніше вчасно засвоювати весь досліджуваний матеріал.
    • Задавайте на уроках питання. Учитель присутній в класі для того, щоб допомогти вам як слід розібратися в досліджуваному матеріалі. Якщо у вас виник яке-небудь питання, не соромтеся задати його. Можливо, деяких присутніх цікавить те ж питання.
    • Готуйтеся до занять: заздалегідь читайте відповідні розділи і розбирайтеся в формулах, теоремах і аксіомах.
    • Уважно слухайте вчителя під час уроків. У вас буде час поговорити з однокласниками на перерві або після занять.
  2. Малюйте схеми.геометрія вивчає фігури і кути.[1] щоб легше зрозуміти матеріал, уявіть завдання, а потім намалюйте схему або креслення. Якщо мова йде про кути, намалюйте їх. Наприклад, властивості вертикальних кутів набагато легше зрозуміти за допомогою малюнка. Якщо в задачі не наведено малюнок, зробіть його самостійно.
    • Щоб просунутися у вивченні геометрії і зрозуміти властивості фігур, представляйте їх на схемах і малюнках.
    • Потренуйтеся розпізнавати фігури в різних орієнтаціях на підставі їх геометричних властивостей (величин кутів, кількості паралельних і перпендикулярних ліній і тому подібного).
  3. Організуйте навчальну групу.Об'єднайтеся з деякими іншими однокласниками в групу-це хороший спосіб вивчити нову інформацію і з'ясувати неясні моменти. Регулярно збирайтеся разом, щоб вчасно засвоювати пройдений матеріал і якомога краще розуміти його. Спільні заняття з однокласниками допоможуть вам, коли ви перейдете до вивчення більш складних розділів. Ви зможете разом опрацьовувати їх.
    • Швидше за все, хто-небудь з ваших однокласників розуміє те, в чому ви не розібралися, і допоможе вам. Ви також зможете пояснити своїм друзям якийсь матеріал і при цьому краще засвоїте його самі.
  4. Навчіться користуватисяТранспортиром .Транспортир являє собою напівкруглий інструмент для вимірювання кутів. Крім того, з його допомогою можна креслити кути. Дізнайтеся, як користуватися транспортиром — це необхідний навик при вивченні геометрії. Щоб виміряти кут, поступите наступним чином:
    • Вирівняйте центральний отвір транспортира з вершиною (вістрям) кута;
    • Покрутіть транспортир до тих пір, поки його підстава (пряма частина) не співпаде з однією зі сторін кута;
    • Продовжіть другу сторону кута до дуги транспортира і запишіть кут, при якому вони перетинаються. Це буде величина вимірюваного кута.
  5. Виконуйте всі домашні завдання.домашня робота допомагає як слід закріпити пройдений матеріал. Якщо ви будете виконувати домашні завдання, то дійсно зрозумієте те, що вивчали в класі і дізнаєтеся, яким розділам слід приділити більше уваги.
    • Під час домашньої роботи ви зможете неспішно повторити пройдений матеріал і звернути особливу увагу на важкі моменти, щоб краще зрозуміти їх. Якщо у вас виникнуть питання, попросіть про допомогу однокласників або вчителя.
  6. Пояснюйте пройдений матеріал комусь іншому.якщо ви як слід засвоїте якусь тему або ідею, то зможете розповісти про неї непосвяченій людині. Якщо ж ви не в змозі ясно пояснити матеріал, так щоб інша людина зрозуміла його, можливо, ви недостатньо засвоїли його самі. Крім того, коли ви пояснюєте будь-яке питання, то краще запам'ятовуєте його.[2]
    • Спробуйте навчати геометрії свого брата, сестру або одного з батьків.
    • Пояснюйте в навчальній групі теми, в яких ви добре розібралися.
  7. Вирішуйте побільше завдань.геометрія — це не тільки область знань, але і свого роду мистецтво. Простого вивчення правил і теорем геометрії недостатньо для того, щоб отримати високу оцінку, для цього необхідно вміти вирішувати завдання. Вирішуйте всі завдання, які вчитель задає додому, а також додаткові завдання за темами, які важко даються.
    • Намагайтеся вирішувати якомога більше завдань з інших джерел. Пам'ятайте про те, що схожі завдання можуть по-різному формулюватися.
    • Чим більше завдань ви вирішите, тим легше зможете вирішувати їх в майбутньому.
  8. Пошукайте додаткову допомогу.іноді відвідувань занять і спілкування з учителем буває недостатньо. Не виключено, що вам буде потрібно репетитор, який зможе приділити більше уваги важким для вас темам. Індивідуальні заняття дуже корисні при вивченні складного матеріалу.
    • Запитайте у свого вчителя, чи немає у нього знайомих репетиторів.
    • Відвідуйте додаткові заняття і запитуйте про те, що ви не до кінця зрозуміли.

Частина2З 3:
Вивчіть геометричні поняття та ідеї

  1. Запам'ятайте п'ять аксіом евклідової геометрії.геометрія ґрунтується на системі постулатів, або аксіом, які були зібрані разом давньогрецьким математиком Евклідом.[3] знання і розуміння цих аксіом допоможе вам засвоїти безліч різних ідей і концепцій.
    • 1. Між будь-якими двома точками можна провести пряму лінію.
    • 2. Обмежений прямий відрізок можна нескінченно продовжувати по прямій.
    • 3. З будь-якого центру будь-яким розмахом циркуля може бути описаний коло, причому розмах циркуля становитиме його радіус.
    • 4. Всі прямі кути рівні між собою.
    • 5. Якщо дані пряма і не лежить на ній точка, то через цю точку можна провести єдину пряму, паралельну даної.
  2. Вивчіть використовувані в геометрії символи.коли ви приступите до вивчення геометрії, вам здасться, що в ній використовується занадто велика кількість символів. Однак з часом ви з легкістю зможете розпізнавати їх, що полегшить подальше навчання. Нижче перераховані деякі з символів, які найчастіше використовуються в геометрії:[4]
    • Невеликий трикутник позначає трикутник;
    • Невеликий кут позначає кут;
    • Букви з лінією над ними позначають кінцевий відрізок;
    • Букви з лінією над ними, яка з обох сторін закінчується стрілками, позначають пряму лінію;
    • Горизонтальний відрізок і проведений з його центру вертикальний відрізок позначають дві взаємно перпендикулярні прямі лінії;
    • Два вертикальних відрізка позначають дві взаємно паралельні лінії;
    • Знак рівності з хвилястою лінією поверх нього означає, що дві фігури конгруентні;
    • Хвиляста лінія означає, що дві фігури подібні;
    • Три точки у формі трикутника означають "отже".
  3. Вивчіть властивості прямих ліній.Пряма лінія триває нескінченно в обох напрямках. На кінцях такої лінії ставляться стрілки, щоб позначити, що лінію можна продовжити далі. Відрізок має початок і кінець. Ще один вид прямих ліній називається променем: промінь має тільки початок і нескінченно триває в другому напрямку. Прямі лінії, відрізки і промені можуть бути паралельними, перпендикулярними або пересічними.[5]
    • Паралельні лінії ніколи не перетинаються один з одним.
    • Перпендикулярними називаються лінії, які перетинаються під кутом 90°.
    • Пересічними називаються лінії, які перетинаються один з одним. Пересічні лінії можуть бути перпендикулярними, але вони ніколи не можуть бути паралельні один одному.
  4. Дізнайтеся про різні види кутів.існує три типи кутів: Тупі, гострі і прямі. Тупими називаються кути, величина яких перевищує 90°. Величина гострих кутів менше 90°, а прямі кути в точності рівні 90°.[6] при вивченні геометрії необхідно знати різницю між різними видами кутів.
    • Кут 90° називають також прямим, або кажуть, що утворюють його лінії перетинаються під прямим кутом.
  5. Вивчіть теорему Піфагора. згідно з теоремою Піфагора, a2 + b2 = c2.[7] це співвідношення дозволяє розрахувати довжину сторони прямокутного трикутника, якщо відомі довжини двох інших сторін. Прямокутним називається трикутник, один з кутів якого дорівнює 90°. У наведеній вище формулі a і b позначають дві прилеглі до прямого кута сторони (катети), А c відповідає протилежній стороні (гіпотенузі).
    • Припустимо, необхідно знайти довжину гіпотенузи прямокутного трикутника, якщо дані довжини катетів a = 2 і b =3.
    • A2 + b2 = c2
    • 22 + 32 = c2
    • 4 + 9 = c2
    • 13 = c2
    • C = √13
    • C = 3,6
  6. Навчіться розпізнавати типи трикутників.трикутники бувають трьох видів: різнобічні, рівнобедрені і рівносторонні. У різнобічного трикутника немає конгруентних (рівних) сторін або кутів. У рівнобедрених трикутниках конгруентні принаймні дві сторони і два кути. Рівносторонній трикутник має три рівні сторони і три рівні кути. Знаючи різні типи трикутників, ви зможете визначати їх властивості і правильно використовувати аксіоми і теореми.[8]
    • Пам'ятайте, що рівносторонній трикутник обов'язково є і рівнобедреним, оскільки в ньому є дві рівних сторони. Всі рівносторонні трикутники є рівнобедреними, проте не всі рівнобедрені трикутники є рівносторонніми.
    • Трикутники можна класифікувати по їх кутах: гострокутні, прямокутні і тупокутні. У гострокутних трикутниках кожен з трьох кутів менше 90°; в прямокутних трикутниках один з кутів дорівнює 90°; в тупокутних трикутниках величина одного з кутів перевищує 90°.
  7. Дізнайтеся про різницю між подібними і конгруентними фігурами. фігури називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні, а сторони однієї фігури пропорційно більше або менше, ніж відповідні сторони другої фігури. Іншими словами, один багатокутник може мати такі ж кути, що і другий, але довжина його сторін буде іншою. Конгруентні фігури ідентичні, їх відповідні сторони і кути рівні.[9]
    • Відповідними кутами називаються рівні кути в двох фігурах. Наприклад, два прямокутних трикутника мають відповідні прямі кути. Щоб фігури мали відповідні кути, їх сторони не обов'язково повинні бути рівними.
  8. Вивчіть поняття додаткових і суміжних кутів.додатковими кутами називаються такі кути, сума яких становить 90 градусів. Сума суміжних кутів становить 180 градусів. Пам'ятайте, що вертикальні кути завжди конгруентні. Схожим чином, внутрішній навхрест лежить і зовнішній навхрест лежить кути також завжди конгруентні. Прямі кути рівні 90 градусів, а розгорнуті — 180 градусів.
    • Вертикальні кути - ця пара кутів із загальною вершиною, які утворені двома пересічними прямими, причому сторони одного кута є продовженням сторін іншого.[10]
    • Внутрішні навхрест лежать кути утворюються в тому випадку, коли дві прямі лінії перетинають третю. Вони знаходяться на протилежних сторонах перетинається лінії, але з внутрішньої сторони двох перетинають її ліній.[11]
    • Зовнішні навхрест лежать кути також утворюються, коли дві прямі лінії перетинають третю. Вони знаходяться на протилежних сторонах перетинається лінії і з зовнішньої сторони двох перетинають її ліній.[12]
  9. Запам'ятайте формули для синуса, косинуса і тангенса в прямокутному трикутнику.Синус, косинус і тангенс кута можна визначити за такими формулами: Синус = протилежний катет/гіпотенуза, Косинус = прилеглий катет/гіпотенуза, Тангенс = протилежний катет/прилеглий катет.[13]
    • Припустимо, необхідно знайти синус, косинус і тангенс кута 39° в прямокутному трикутнику зі сторонами AB = 3, BC = 5 і AC = 4.
    • Sin (39°) = протилежний катет / гіпотенуза = 3/5 = 0,6
    • Cos (39°) = прилеглий катет / гіпотенуза = 4/5 = 0,8
    • Tg (39°) = протилежний катет / прилеглий катет = 3/4 = 0,75

Частина3З 3:
Записуйте докази в 2 колонки

  1. Після того, як ви прочитаєте умову завдання, зробіть креслення.іноді завдання не супроводжується малюнком, і в цьому випадку слід зробити креслення, щоб краще зрозуміти умову. Спочатку можна зробити приблизний ескіз, а потім намалювати більш точний креслення, який більш-менш правильно відображає всі лінії і кути.
    • Ясно вкажіть на малюнку все, що дано в завданні і що потрібно знайти.
    • Чим зрозуміліше вийде малюнок, тим легше вам буде вирішити задачу.
  2. Розгляньте вийшов малюнок.позначте на ньому прямі кути і рівні відрізки. Якщо є паралельні лінії, також позначте їх на кресленні. Якщо в умові не вказано явно, що два відрізки рівні, чи можна довести це? Не забувайте доводити всі свої припущення.
    • Запишіть співвідношення між довжинами різних відрізків і величинами кутів, які можна отримати з зробленого малюнка і ваших припущень.
    • Запишіть, що дано в завданні. Умова будь-якої задачі з геометрії містить вихідні дані. Запишіть всі вихідні дані, щоб мати їх перед очима при вирішенні завдання.
  3. Спробуйте при цьому рухатися в зворотному напрямку.у задачах з геометрії наводяться якісь вихідні дані, і на їх підставі необхідно довести певні твердження про властивості фігур і кутів. Іноді найбільш простий спосіб полягає в тому, щоб почати вирішувати завдання з кінця.
    • Подумайте, яким чином вихідні дані можуть призвести до кінцевого результату?
    • Чи є очевидні припущення, доказ яких дозволяє отримати кінцевий результат?
  4. Складіть таблицю з двох колонок: в одну колонку записуйте твердження, а в другу - їх обгрунтування. Щоб отримати суворе доказ, необхідно зробити ряд проміжних припущень і довести їх істинність. Нижче колонки з припущеннями ви запишете кінцеве твердження, наприклад, кут ABC = кут DEF. Колонка обґрунтувань міститиме докази відповідних тверджень і припущень. Якщо якесь твердження дано в умові задачі, просто напишіть у відповідній комірці колонки обґрунтувань" дано", в іншому випадку запишіть доказ даного твердження (наприклад, вкажіть використану теорему).
  5. Визначте, які теореми підходять для вирішення даної задачі.в геометрії існує маса окремих теорем, які можна використовувати при вирішенні задач. У цих теоремах доводяться різні властивості трикутників, пересічних і паралельних ліній, кіл і так далі. Визначте, з якими геометричними фігурами ви маєте справу в даній задачі, і знайдіть відповідні теореми. Подивіться, чи не вирішували ви подібні завдання раніше. Для трикутників є безліч теорем, і серед них найбільш важливими є наступні:[14]
    • Відповідні частини конгруентних трикутників конгруентні між собою;
    • Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники конгруентні;
    • Якщо два трикутники мають дві рівні сторони і кут між ними, то ці трикутники конгруентні;
    • Якщо одна сторона одного трикутника і два прилеглих до неї кута рівні відповідним стороні і двох кутах другого трикутника, то ці трикутники конгруентні;
    • Трикутники з трьома рівними кутами подібні, але не обов'язково конгруентні.
  6. На шляху до кінцевого результату не пропускайте проміжні кроки.запишіть коротку схему докази. Напишіть обгрунтування для кожного кроку. При цьому додавайте наведені в умові дані там, де вони використовуються, а не пишіть їх все на початку таблиці. Якщо необхідно, поміняйте кроки місцями.
    • Чим докладніше ви запишете доказ, тим легше вам буде розмістити окремі кроки в правильному порядку.
  7. В останньому рядку запишіть висновки.хоча останній крок повинен завершувати доказ, його також слід обґрунтувати. Коли ви завершите доказ, перегляньте його ще раз і переконайтеся в тому, що в ньому немає прогалин. Переконайтеся, що ваше рішення правильно, після чого запишіть в нижній правій комірці "що і було потрібно довести". Таким чином ви вкажете, що завдання вирішене.

Поради

  • Вчіться кожен ДЕНЬ. Переглядайте свої записи за поточний і попередній дні і завжди повторюйте пройдений матеріал, поки ви не забули вивчені напередодні аксіоми, теореми, визначення, символи і позначення.
  • Якщо ви чогось не розумієте, пошукайте додаткову інформацію та навчальні ролики в Інтернеті.
  • Заведіть картки і записуйте на них формули. Частіше переглядайте картки, щоб запам'ятати вивчені формули.
  • Запишіть номери мобільних телефонів і адреси електронної пошти своїх однокласників, щоб в разі необхідності ви могли звернутися до них за допомогою.
  • Займайтеся на літніх канікулах. Це полегшить вашу роботу протягом навчального року.
  • медитуйте. Це допомагає.

Попередження

  • Не відкладайте все на останній момент.
  • Не займайтеся зубрінням.

Що вам знадобиться

  • лінійка-трикутник
  • Циркуль
  • науковий калькулятор
  • зошит у клітинку
  • Транспортир
  • прості олівці (записи і креслення необхідно робити олівцями)
  • Маркер
  • кольорові олівці

Джерела

  1. ↑ Https://www.mathsisfun.com/geometry/
  2. ↑ Http://www.futurity.org/learning-students-teaching-741342/
  3. ↑ Http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/113/97/html/euclid.html
  4. ↑ Https://www.mathsisfun.com/geometry/symbols.html
  5. ↑ Https://www.mathsisfun.com/geometry/line.html
  6. ↑ Http://www.mathplanet.com/education/geometry/points,-lines,-planes-and-angles/measure-and-classify-an-angle
  7. ↑ Https://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session6/index.html
  8. ↑ Https://www.mathsisfun.com/triangle.html
  9. ↑ Https://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/keyterms.html#s
  1. ↑ Https://www.mathsisfun.com/geometry/vertical-angles.html
  2. ↑ Https://www.mathsisfun.com/geometry/alternate-interior-angles.html
  3. ↑ Https://www.mathsisfun.com/geometry/alternate-exterior-angles.html
  4. ↑ Https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html
  5. ↑ Http://www.mathwarehouse.com/geometry/congruent_triangles/

Ще почитати: