Як знайти визначник матриці 3х3: 12 кроків

Метод1 З 2:

Пошук визначника

1. 
   Запишіть матрицю розмірністю 3 x 3.<|b||b> запишемо матрицю розмірністю 3 x 3, яку позначимо M, і знайдемо її визначник|M/. Далі наводиться загальна форма запису матриці, яку ми будемо використовувати, і матриця для нашого прикладу:

   • ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&#amp;a_{12}&#amp;a_{13}\\a_{21}&#amp;a_{22}&#amp;a_{23}\\a_{31}&#amp;a_{32}&#amp;a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&#amp;5&#amp;3\\2&#amp;4&#amp;7\\4&#amp;6&#amp;2\end{pmatrix}}}$
2. 
   Виберіть рядок або стовпець матриці. цей рядок (або стовпець) буде опорною. Результат буде однаковий, незалежно від того, який рядок або який стовпець ви виберете. В даному прикладі Давайте візьмемо перший рядок. Трохи пізніше ви знайдете кілька порад щодо того, як вибирати рядок або стовпець, щоб спростити обчислення.

   • Давайте виберемо перший рядок матриці M в нашому прикладі. Обведіть числа 1 5 3. У загальній формі обведіть a₁₁ a₁₂ a₁₃.
3. 
   Закресліть рядок або стовпець з першим елементом. зверніться до опорного рядка (або до опорного стовпця) і виберіть перший елемент. Проведіть горизонтальну і вертикальну риску через цей елемент, викресливши таким чином стовпець і Рядок з цим елементом. Має залишитися чотири числа. Будемо вважати ці елементи новою матрицею розмірністю 2 x 2.

   • У нашому прикладі, опорним рядком буде 1 5 3.перший елемент знаходиться на перетині першого стовпця і першого рядка. Викресліть рядок і стовпець з цим елементом, тобто перший і перший стовпець. Запишіть залишилися елементи у вигляді матриці 2 x 2:
   •  1  5 3
   •  2  4 7
   •  4  6 2
4. 
   Знайдіть визначник матриці 2 x 2. Запам'ятайте, що визначник матриці ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&#amp;b\\c&#amp;d\end{pmatrix}}}$ обчислюється як Ad - bc.^[1] спираючись на це, Ви можете обчислити визначник отриманої матриці 2 x 2, Яку, якщо хочете, можете позначити як X. помножте два числа матриці X, з'єднаних по діагоналі зліва направо (тобто так: \ ). Потім відніміть результат множення двох інших чисел по діагоналі справа наліво (тобто так: / ). Використовуйте цю формулу, щоб обчислити визначник матриці, яку ви тільки що отримали.

   • У нашому прикладі визначник матриці${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&#amp;7\\6&#amp;2\end{pmatrix}}}$ = 4*2 - 7*6 = -34.
   • Цей визначник називаєтьсяМінором елемента, який ми вибрали в нашій первісній матриці.^[2] іншими словами, Ми тільки що знайшли мінор a₁₁.
5. 
   Помножте отриману відповідь на вибраний елемент матриці M. згадайте, який елемент з опорного рядка (або стовпця) ми використовували, коли викреслювали інші елементи рядка і стовпця, щоб отримати нову матрицю. Помножте цей елемент на отриманий мінор (визначник матриці 2x2, яку ми позначили X).

   • У нашому прикладі ми вибирали елемент a₁₁, який дорівнював 1. Помножимо його на -34 (визначник матриці 2x2), і у нас вийде 1*-34 = -34.
6. 
   Визначте знак отриманого результату.далі вам знадобиться помножити отриманий результат на 1, або на -1, щоб отримати алгебраїчне доповнення (кофактор) вибраного елемента. Знак кофактора буде залежати від того, в якому місці матриці 3x3 стоїть елемент. Запам'ятайте цю просту схему знаків, щоб знати знак кофактора:

   • + - +
   • - + -
   • + - +
   • Оскільки ми працювали з елементомa₁₁, для якого стоїть знак +, то ми будемо множити отримане значення на +1 (тобто залишимо його як є). Алгебраїчне доповнення нашого елемента дорівнюватиме -34.
   • Ви також можете знайти знак алгебраїчного Доповнення за формулою (-1)^{i + j, де i і j - номер стовпця і рядка вибраного елемента відповідно.[3]}
7. 
   Повторіть всі вищеописані дії з другим елементом опорного рядка (або стовпця).поверніться до вихідної матриці розмірністю 3x3 і рядку, яку ми обвели на самому початку обчислень. Повторіть всі дії з цим елементом:

   • Викресліть рядок і стовпець з цим елементом. у нашому прикладі ми повинні вибрати елемент a₁₂ (рівний 5). Викреслимо перший рядок (1 5 3) і другий стовпець ${\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}}$ матриці.
   • Запишіть залишилися елементи у вигляді матриці 2x2. у нашому прикладі матриця матиме вигляд${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&#amp;7\\4&#amp;2\end{pmatrix}}}$
   • Знайдіть визначник цієї нової матриці 2x2.скористайтеся наведеною вище формулою ad-bc. (2*2 - 7*4 = -24)
   • Помножте отриманий визначник на вибраний елемент матриці 3x3. -24 * 5 = -120
   • Перевірте, чи потрібно помножити результат на -1. скористаємося формулою (-1)^ij , щоб визначити знак алгебраїчного Доповнення. Для обраного нами елемента a₁₂ в таблиці вказано знак «-», аналогічний результат дає і формула. Тобто ми повинні змінити знак: (-1)*(-120) = 120.
8. 
   Повторіть з третім елементом.далі вам знадобиться знайти ще одне алгебраїчне доповнення. Обчисліть його для останнього елемента опорного рядка або опорного стовпця. Далі наводиться короткий опис того, як обчислюється алгебраїчне доповнення для a₁₃ в нашому прикладі:

   • Закресліть перший рядок і третій стовпець, щоб отримати матрицю${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&#amp;4\\4&#amp;6\end{pmatrix}}}$
   • Її визначник дорівнює 2*6 - 4*4 = -4.
   • Помножте результат на елемент a₁₃: -4 * 3 = -12.
   • Елемент a₁₃ має знак + у наведеній вище таблиці, тому відповідь буде -12.
9. 
   Складіть отримані результати. Це останній крок. Вам необхідно скласти отримані алгебраїчні доповнення елементів опорного рядка (або опорного стовпця). Складіть їх разом, і ви отримаєте значення визначника матриці 3x3.

   • У нашому прикладі визначник дорівнює-34 + 120 + -12 = 74.