Як знайти похідну квадратного кореня з x-

Метод1З 3:

За допомогою правила диференціювання статечної функції

1. 
   Згадайте правило диференціювання статечної функції.зазвичай це правило вчать на самому початку курсу диференціального числення. Воно свідчить, що похідна змінної ${\displaystyle x}$, зведена у ступінь ${\displaystyle a}$, дорівнює:^[1]

   • ${\displaystyle f(x)=x^{a}}$
   • ${\displaystyle f^{\prime }(x)=ax^{a-1}}$
   • Як приклад розглянемо наступні функції і знайдемо їх похідні:
     • Якщо${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, то ${\displaystyle f^{\prime }(x)=2x}$;
     • Якщо${\displaystyle f(x)=3x^{2}}$, то ${\displaystyle f^{\prime }(x)=2*3x=6x}$;
     • Якщо${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, то ${\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}}$;
     • Якщо${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}}$, то ${\displaystyle f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}$.
2. 
   Запишіть квадратний корінь у вигляді статечної функції.щоб знайти похідну квадратного кореня, згадайте, що його можна переписати у вигляді статечної функції. При цьому стоїть під коренем величина записується у вигляді підстави, яке зводиться в ступінь 1/2. Розглянемо наступні приклади:^[2]

   • ${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}$;
   • ${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}}$;
   • ${\displaystyle {\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}}$.
3. 
   Застосуйте правило диференціювання статечної функції. якщо під коренем стоїть змінна x, ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$, похідна береться наступним чином:^[3]

   • ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \ }$(записуємо первісну функцію);
   • ${\displaystyle f (x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \ }$(переписуємо корінь у вигляді статечної функції);
     • ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \ }$(знаходимо похідну за допомогою правила диференціювання степеневих функцій);
     • ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \ }$(спрощуємо ступеневу функцію).
4. 
   Спростіть результат.на цьому етапі необхідно згадати, що при негативному ступені слід знайти число, зворотне даному числу в тій же позитивній мірі. Ступінь ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ означає, що квадратний корінь слід поставити в знаменнику дробу.^[4]

   • Продовжимо наведений вище приклад для квадратного кореня x і спростимо похідну:
     • ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}}$;
     • ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}}$;
     • ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$.