Як перевірити принцип невизначеності для квантового гармонічного осцилятора

Квантовий гармонійний осцилятор являє собою квантовий аналог класичного гармонійного осцилятора. Розглянемо основний стан і визначимо для нього очікувані значення координати і імпульсу, а також перевіримо, чи виконується принцип невизначеності.

Частина1З 3:

Рішення для основного стану

Згадаємо рівняння Шредінгера. це диференціальне рівняння в приватних похідних є основним рівнянням руху в квантовій механіці, воно описує, як квантовий стан (хвильова функція $\psi$ ) змінюється з часом. ${\hat {H}}$ позначає гамільтоніан — оператор енергії, який описує повну енергію системи.
- $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi$
Запишемо гамільтоніан гармонійного осцилятора.незважаючи на те що координата і імпульс заміщаються відповідними операторами, вираз нагадує суму кінетичної і потенційної енергії для класичного гармонійного осцилятора. Оскільки ми розглядаємо фізичний простір, оператор координати має вигляд ${\hat {x}}=x,$ а оператор імпульсу записується як ${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}.$
${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}$
Запишемо не залежне від часу рівняння Шредінгера.оскільки гамільтоніан не залежить явно від часу, рішеннями такого рівняння будуть стаціонарні стани. Не залежне від часу рівняння Шредінгера є характеристичним рівнянням, тому його рішення дозволяє отримати власні значення енергії і відповідні їм власні функції, які є хвильовими функціями.
$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi$
Вирішимо диференціальне рівняння. це диференціальне рівняння зі змінними коефіцієнтами, і його непросто вирішити елементарними способами. Проте, після нормалізації ми можемо записати рішення для основного стану. При цьому слід пам'ятати, що дане рішення описує одновимірний осцилятор.
- $\psi (x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)$
- Це гауссіан з центром в точці $x=0.$ звернемо увагу, що дана функція є парною-це полегшить розрахунки в наступному розділі.

Частина2З 3:

Очікувані значення

Згадаємо вираз для невизначеності. з математичної точки зору невизначеність вимірюваної величини, наприклад координати, є стандартним (середньоквадратичним) відхиленням. Тобто необхідно знайти середнє, взяти кожне значення, відняти його з середнього, звести отримані величини в квадрат, скласти їх і витягти квадратний корінь.
- $\sigma _{x}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}}}$
Знайдемо $\langle x\rangle$ . Оскільки функція є рівною, з міркувань симетрії можна зробити висновок, що $\langle x\rangle =0.$
- Якщо подивитися на Інтеграл, який необхідно оцінити, то можна помітити, що під знаком інтеграла стоїть непарна функція, так як твір непарної і парної функцій дає непарну функцію.
  - $\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x$
- Однією з властивостей непарних функцій є те, що для кожного позитивного значення функції існує "двійник" (відповідне негативне значення), і вони взаємно скорочуються. Оскільки ми оцінюємо інтеграл уздовж всієї осі $x$ , можна без обчислень зробити висновок, що він дорівнює 0.
Знайдемо $\langle x^{2}\rangle$ .оскільки рішення записується у вигляді безперервної хвильової функції, ми повинні використовувати наведений нижче Інтеграл. Цей інтеграл описує математичне очікування $x^{2}$ , проинтегрированное по всьому простору.
$\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x$
Підставимо в Інтеграл хвильову функцію і спростимо вираз.ми знаємо, що хвильова функція є парною функцією. Квадрат парної функції також є парною функцією, тому можна додати множник 2 і змінити нижню межу інтегрування на 0.
$\langle x^{2}\rangle =2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp \left(-{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}\right)\mathrm {d} x$
Оцінимо Інтеграл. по-перше, зробимо заміну змінних $\alpha ={\frac {m\omega }{\hbar }}.$ потім, замість того щоб інтегрувати по частинах, використовуємо гамма-функцію.
- ${\begin{aligned}\langle x^{2}\rangle &#amp;=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-\alpha x^{2}}\mathrm {d} x,\ \ u=\alpha x^{2}\\&#amp;=2\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{\alpha }}e^{-u}\mathrm {d} u{\frac {1}{2\alpha x}},\ \ x={\sqrt {\frac {u}{\alpha }}}\\&#amp;=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\alpha ^{-3/2}\int _{0}^{\infty }u^{1/2}e^{-u}\mathrm {d} u\\&#amp;=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{-3/2}\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right),\ \ \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\&#amp;={\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\&#amp;={\frac {\hbar }{2m\omega }}\end{aligned}}$
Отже, тепер ми можемо оцінити невизначеність координати. якщо ми згадаємо співвідношення, записане в першому кроці, то відразу ж отримаємо вираз для $\sigma _{x}$ .
- $\sigma _{x}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}$
Знайдемо $\langle p\rangle$ . У середньому положенні з міркувань симетрії можна зробити висновок, що $\langle p\rangle =0.$
Обчислимо $\langle p^{2}\rangle$ .замість того щоб використовувати хвильову функцію і проводити обчислення безпосередньо, можна спростити завдання за допомогою енергії. Енергія основного стану гармонійного осцилятора записується в наступному вигляді:
$E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$
Співвіднесемо енергію основного стану з кінетичною і потенційною енергією частинки.ми очікуємо, що це співвідношення буде справедливим не тільки для будь-якої координати та будь-якого імпульсу, але і для їх математичних очікувань.
${\frac {1}{2}}\hbar \omega ={\frac {\langle p^{2}\rangle }{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\langle x^{2}\rangle$
Вирішимо щодо $\langle p^{2}\rangle$ .
- $m\hbar \omega =\langle p^{2}\rangle +m^{2}\omega ^{2}{\frac {\hbar }{2m\omega }}$
- $\langle p^{2}\rangle ={\frac {m\hbar \omega }{2}}$
Отримуємо величину невизначеності для імпульсу.
- $\sigma _{p}={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}$

Частина3З 3:

Перевірка принципу невизначеності

Згадаємо принцип невизначеності Гейзенберга для координат і імпульсу. Принцип невизначеності є фундаментальним обмеженням, що накладається на точність, з якою ми можемо одночасно вимірювати дві величини, наприклад координати і імпульс частинки. Більш докладне обговорення цього принципу наведено в розділі "Поради".
- $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$
Підставимо невизначеності для квантового гармонійного осцилятора.
- ${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}&#amp;\geq {\frac {\hbar }{2}}\\{\frac {\hbar }{2}}&#amp;\geq {\frac {\hbar }{2}}\end{aligned}}$
- Отримані результати узгоджуються з принципом невизначеності. Фактично, знак рівності виконується лише в основному стані - для збуджених станів з більш високими значеннями енергії невизначеності координати і імпульсу зростають.

Поради

Є два способи пояснити те, чому існує принцип невизначеності.
- З точки зору хвильової механіки, вирази хвильових функцій через координати і імпульси являють собою взаємні перетворення Фур'є. Однією з властивостей перетворення Фур'є є те, що функція та її перетворення Фур'є не можуть одночасно мати добре локалізований вигляд.
- Простим прикладом служить перетворення Фур'є прямокутної функції. У міру зменшення ширини прямокутника (тобто зростання локалізації функції) перетворення Фур'є (функція sinc) стає все нижче і ширше. У граничному випадку дельта-функції Дірака, коли ширина прагне до нуля (гранична локалізація), перетворення Фур'є стає константою (нескінченна невизначеність).
- Другий спосіб полягає в тому, щоб розглянути принцип невизначеності з точки зору матричної квантової механіки. Комутація операторів координати і імпульсу не дорівнює нулю. Коммутирующими називають такі оператори, комутація яких (у вираженні нижче вона записана в квадратних дужках) дорівнює нулю.
  - $[{\hat {x}},{\hat {p}}]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar$
- Виявляється, що ненульовий комутації повинен відповідати принцип невизначеності. При дії оператора ${\hat {x}}$ на стан хвильова функція вироджується у власний стан оператора ${\hat {x}}$ з певним результатом вимірювань (власним значенням). Разом з тим власний стан ${\hat {x}}$ не обов'язково має бути власним станом іншого оператора ${\hat {p}}.$ в результаті не існує певне виміряне значення для $p,$ тобто даний стан може бути записано лише як лінійна комбінація основних власних станів імпульсу. Якщо ж два оператори коммутируют, то вони мають загальний набір власних станів (такий випадок називається виродженням), і дві спостережувані величини можна одночасно виміряти з довільною точністю. Це завжди виконується в класичній механіці.
- Це причина принципу невизначеності. Даний принцип не пов'язаний з обмеженнями наших приладів, які не дозволяють одночасно виміряти координати і імпульс з бажаною точністю. Навпаки, він є фундаментальним властивістю самих частинок.