1. Головна
    2. Геометрія
    3. Як віднімати і складати вектори-

Як віднімати і складати вектори-

ВЕКТОР-це математичний об'єкт, який характеризується величиною і напрямком (наприклад, прискорення, переміщення), чим і відливається від скалярів, у яких напрямки немає (наприклад, відстань, енергія). Скаляри можна складати, склавши їх значення (наприклад, 5 кДж роботи плюс 6 кДж роботи одно 11 кДж роботи), а ось вектори складати і віднімати не так просто.

Метод1З 3:
Додавання і віднімання векторів з відомими компонентами

  1. Так як вектори мають величину і напрямок, то їх можна розкласти на компоненти, грунтуючись на розмірностях х, у і/або z. вони, як правило, позначаються так само, як точки в системі координат (наприклад, &#lt;х,у,z&#gt;). Якщо компоненти відомі, то скласти / відняти вектори так само просто, як скласти/відняти координати x, y, z.
    • Зверніть увагу, що вектори можуть бути одновимірними, двовимірними або тривимірними. Таким чином, вектори можуть мати компонент «х», компоненти «х» і «у» або компоненти «х», «у», «z». Нижче розглянуті Тривимірні вектори, але процес аналогічний для одновимірних і двовимірних векторів.
    • Припустимо, що вам дано два тривимірних вектора-вектор А і вектор B. запишіть ці вектори у векторній формі: а = &#lt;a1, b1, c1&#gt; і B = &#lt;a2, b2, c2&#gt;, де A1 і А2 — компоненти «х», b1 і b2 — компоненти «у», c1 і c2 — компоненти «z».
  2. Для складання двох векторів складіть їх відповідні компоненти.іншими словами, складіть компонент " х "першого вектора з компонентом» х" другого вектора (і так далі). В результаті ви отримаєте компоненти х, у, z результуючого вектора.
    • A+B = &#lt;a1+a2,b1+b2,c1+c2&#gt;.
    • Складемо вектори A і B. A = &#lt; 5, 9, -10 &#gt;і B = &#lt; 17, -3, -2 &#gt;. A + B = &#lt;5+17, 9+-3, -10+-2&#gt;, або&#lt; 22, 6, -12&#gt;.
  3. Для віднімання одного вектора з іншого необхідно відняти відповідні компоненти. як буде показано нижче, віднімання можна замінити складанням одного вектора і вектора, зворотного іншому. Якщо компоненти двох векторів відомі, відніміть відповідні компоненти одного вектора з компонентів іншого.
    • A-B = &#lt;a1-a2,b1-b2,c1-c2&#gt;
    • Віднімемо вектори A і B. A = &#lt; 18, 5, 3 &#gt;і B = &#lt; -10, 9, -10 &#gt;. A - B = &#lt;18--10, 5-9, 3--10&#gt;, or&#lt;28, -4, 13&#gt;.

Метод2 З 3:
Графічне додавання і віднімання

  1. Так як вектори мають величину і напрямок, то у них є початок і кінець (початкова точка і кінцева точка, відстань між якими дорівнює значенню вектора).при графічному відображенні вектора він малюється у вигляді стрілки, у якій наконечник — кінець вектора, а протилежна точка — початок вектора.
    • При графічному відображенні векторів будуйте всі кути дуже точно; в іншому випадку ви отримаєте неправильну відповідь.
  2. Для додавання векторів намалюйте їх так, щоб кінець кожного попереднього вектора з'єднувався з початком наступного вектора.якщо ви складаєте тільки два вектори, то це все, що вам потрібно зробити, перш ніж знайти результуючий вектор.
    • Зверніть увагу, що порядок з'єднання векторів не важливий, тобто вектор а + вектор B = Вектор B + вектор а.
  3. Для віднімання вектора просто додайте зворотний вектор, тобто змініть напрямок віднімається вектора, а потім з'єднайте його початок з кінцем іншого вектора. іншими словами, щоб відняти вектор, поверніть його на 180o (навколо точки початку) і складіть його з іншим вектором.
  4. Якщо ви складаєте або віднімаєте наскільки (більше двох) векторів, то послідовно з'єднайте їх кінці і початку.Порядок, в якому ви з'єднуєте вектори, не має значення. Цей метод можна використовувати для будь-якого числа векторів.
  5. Намалюйте новий вектор, починаючи від початку першого вектора і закінчуючи кінцем останнього вектора (при цьому число складаються векторів не важливо). ви отримаєте результуючий вектор, рівний сумі всіх складаються векторів. Зверніть увагу, що цей вектор збігається з вектором, отриманим шляхом додавання компонентів «х», «у», «z» всіх векторів.
    • Якщо ви намалювали довжини векторів і кути між ними дуже точно, то ви можете знайти значення результуючого вектора, просто вимірявши його довжину. Крім того, ви можете виміряти кут (між результуючим вектором і іншим зазначеним вектором або горизонтальної/вертикальної прямими), щоб знайти напрямок результуючого вектора.
    • Якщо ви намалювали довжини векторів і кути між ними дуже точно, то ви можете знайти значення результуючого вектора за допомогою тригонометрії, а саме теореми синусів або теореми косинусів. Якщо ви складаєте кілька векторів (більше двох), спочатку складіть два вектори, потім складіть результуючий вектор і третій вектор і так далі. Дивіться наступний розділ для отримання додаткової інформації.
  6. Уявіть результуючий вектор, позначивши його значення і напрямок. як зазначалося вище, якщо ви намалювали довжини складаються векторів і кути між ними дуже точно, то значення результуючого вектора дорівнює його довжині, а напрямок — це кут між ним і вертикальної або горизонтальної прямої. До значення вектора не забудьте приписати одиниці виміру, в яких дані складаються/віднімаються вектора.
    • Наприклад, якщо ви складаєте вектори швидкості, вимірювані в м/с, ТО і до значення результуючого вектора припишіть «м/с», а також вкажіть кут результуючого вектора в форматі «o до горизонтальної прямої».

Метод3 З 3:
Додавання і віднімання векторів через знаходження значень їх компонентів

  1. Щоб знайти значення компонентів векторів необхідно знати значення самих векторів і їх напрямок (кут відносно горизонтальної або вертикальної прямої).розглянемо двовимірний вектор. Зробіть його гіпотенузою прямокутного трикутника, тоді катетами (паралельними осях Х і Y) цього трикутника будуть компоненти вектора. Ці компоненти можна розглядати як з'єднані два вектори, які при додаванні дають вихідний вектор.
    • Довжини (значення) двох компонентів (компонентів «х» і «у») вихідного вектора можна обчислити за допомогою тригонометрії. Якщо " х " - це значення (модуль) вихідного вектора, то компонент вектора, прилеглий до кута вихідного вектора, дорівнює xcosθ, а компонент вектора, протилежний куту вихідного вектора, дорівнює xsinθ.
    • Важливо відзначити напрямок компонентів. Якщо компонент спрямований протилежно напрямку однієї з осей, то його значення буде негативним, наприклад, якщо на двовимірній площині координат компонент спрямований вліво або вниз.
    • Наприклад, дано вектор з модулем (значенням) 3 і напрямком 135o (по відношенню до горизонталі). Тоді компонент "х «дорівнює 3cos 135 = -2,12, а компонент» у" дорівнює 3sin135 = 2,12.
  2. Після того, як Ви знайшли компоненти всіх складаних векторів, просто складіть їх значення і знайдете значення компонентів результуючого вектора.спочатку складіть значення всіх горизонтальних компонентів (тобто компонентів, паралельних осі Х). Потім складіть значення всіх вертикальних компонентів (тобто компонентів, паралельних осі Y). Якщо значення компонента негативне, то воно віднімається, а не додається.
    • Наприклад, складемо вектор &#lt; -2,12, 2,12&#gt;і вектор &#lt; 5,78, -9&#gt;. Результуючий вектор буде таким &#lt; -2,12 + 5,78, 2,12-9&#gt;або &#lt; 3,66, -6,88&#gt;.
  3. Обчисліть довжину (значення) результуючого вектора, використовуючи теорему Піфагора: c 2=a2+b2 (так як трикутник, утворений вихідним вектором і його компонентами є прямокутним). В цьому випадку катетами є компоненти "х» і" у " результуючого вектора, а гіпотенузою — сам результуючий вектор.
    • Щоб знайти значення результуючого вектора, компоненти &#lt;3,66, -6,88&#gt; якого Ви знайшли в попередньому кроці, використовуйте теорему Піфагора.
      • C2=(3,66)2+(-6,88)2
      • C2=13,40+47,33
      • C=√60,73 =7,79
    • Знайдіть напрямок результуючого вектора з нашого прикладу.
      • Θ=tan-1(-6,88/3,66)
      • Θ=tan-1(-1,88)
      • Θ=-61,99o
  5. Уявіть результуючий вектор, позначивши його значення і напрямок.до значення вектора не забудьте приписати одиниці виміру, в яких дані складаються/віднімаються вектора.
    • Наприклад, якщо в нашому прикладі ви складали силу, вимірювану в Ньютонах, то відповідь запишіть так: 7,79 Н під кутом -61,99o (до горизонтальної осі).

Поради

  • Не плутайте вектори з їх модулями (значеннями).
  • Вектори, у яких один напрямок, можна складати або віднімати, просто склавши або віднявши їх значення. Якщо складаються два протилежно спрямованих вектора, то їх значення віднімаються, а не складаються.
  • Вектори, які представлені у вигляді xi + yj + zk можна скласти або відняти, просто склавши або віднімаючи відповідні коефіцієнти. Відповідь також запишіть у вигляді i,j, K.
  • Значення вектора в тривимірному просторі можна знайти за допомогою формулиa2=b2+c2+d2, де A — значення вектора, b, c, і d — компоненти вектора.
  • Вектори-стовпці можна складати/віднімати, склавши / віднімаючи відповідні значення в кожному рядку.

Ще почитати: