Як застосувати перетворення Лапласа до будь–якої функції

Перетворення Лапласа являє собою інтегральне перетворення, яке використовують для вирішення диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Це перетворення широко використовується у фізиці та інженерній справі.

Хоча можна використовувати відповідні таблиці, корисно розуміти перетворення Лапласа, щоб при необхідності ви могли провести його самостійно.

Попередні відомості

Нехай дана функція $f(t)$ , визначена для $t\geq 0.$ тоді Перетворенням Лапласа функції $f(t)$ є наступна функція кожного значення $s$ , при якому інтеграл сходиться:
- $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t$
Перетворення Лапласа переводить функцію з T-області (часової шкали) в S-область (область перетворення), де $F(s)$ представляє собою комплексну функцію комплексної змінної. Воно дозволяє перевести функцію в ту область, де можна легше знайти рішення.
Очевидно, що перетворення Лапласа є лінійним оператором, тому якщо ми маємо справу з сумою доданків, кожен Інтеграл можна обчислити окремо.
- $\int _{0}^{\infty }[af(t)+bg(t)]e^{-st}\mathrm {d} t=a\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+b\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\mathrm {d} t$
Пам'ятайте, що перетворення Лапласа працює лише в тих випадках, якщо Інтеграл сходиться. Якщо функція $f(t)$ має розриви, необхідно бути уважним і правильно розставити межі інтегрування, щоб уникнути невизначеності.

Частина1З 3:

Основи

Підставте функцію в формулу перетворення Лапласа.теоретично перетворення Лапласа функції обчислюється дуже просто. Розглянемо як приклад функцію $f(t)=e^{at}$ , де $a$ — комплексна константа з $\operatorname {Re} (s)&#lt;\operatorname {Re} (a).$
- ${\mathcal {L}}\{e^{at}\}=\int _{0}^{\infty }e^{at}e^{-st}\mathrm {d} t$
Оцініть інтеграл за допомогою доступних методів.у нашому прикладі оцінка дуже проста і можна обійтися простими обчисленнями. У більш складних випадках можуть знадобитися більш складні методи, наприклад інтегрування по частинах або диференціювання під знаком інтеграла. Обмежувальна умова $\operatorname {Re} (s)&#lt;\operatorname {Re} (a)$ означає, що інтеграл сходиться, тобто його значення прагне до 0 при $t\to \infty .$
- ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{e^{at}\}&#amp;=\int _{0}^{\infty }e^{(a-s)t}\mathrm {d} t\\&#amp;={\frac {e^{(a-s)t}}{a-s}}{\Bigg |}_{0}^{\infty }\\&#amp;={\frac {1}{s-a}}\end{aligned}}$
- Врахуйте, що це дає нам два види перетворення Лапласа, з синусом і косинусом, так як згідно з формулою Ейлера $e^{iat}$ . У цьому випадку в знаменнику ми отримаємо $s-ia,$ і залишається лише визначити дійсну і уявну частину. Можна також оцінити результат безпосередньо, але це зайняло б трохи більше часу.
  - ${\mathcal {L}}\{\cos at\}=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$
  - ${\mathcal {L}}\{\sin at\}=\operatorname {Im} \left({\frac {1}{s-ia}}\right)={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$
Розглянемо перетворення Лапласа статечної функції.для початку слід визначити перетворення статечної функції, оскільки властивість лінійності дозволяє знайти перетворення длявсіх поліномів. Степеневої є функція виду $t^{n},$ де $n$ — будь-яке додатне ціле число. Можна проінтегрувати по частинах, щоб визначити рекурсивне правило.
- ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-st}\mathrm {d} t={\frac {n}{s}}{\mathcal {L}}\{t^{n-1}\}$
- Даний результат виражений в неявній формі, але якщо підставити кілька значень $n,$ можна встановити певну закономірність (спробуйте зробити це самостійно), яка дозволяє отримати наступний результат:
  - ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}}$
- Можна також визначити перетворення Лапласа дрібних ступенів за допомогою гамма-функції. Наприклад, таким способом можна знайти перетворення такої функції, як $f(t)={\sqrt {t}}.$
  - ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {\Gamma (n+1)}{s^{n+1}}}$
  - ${\mathcal {L}}\{t^{1/2}\}={\frac {\Gamma (3/2)}{s^{3/2}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2s{\sqrt {s}}}}$
- Хоча функції з дробовими ступенями повинні мати розрізи (як ви пам'ятаєте, будь-які комплексні числа $z$ і $\alpha$ можна записати у вигляді $z^{\alpha }$ , оскільки $e^{\alpha \operatorname {Log} z}$ ), їх завжди можна визначити таким чином, щоб розрізи лежали в лівій напівплощині, і тим самим уникнути проблем з аналітичністю.

Частина2З 3:

Властивості перетворення Лапласа

Знайдемо перетворення Лапласа функції, помноженої на $e^{at}$ .отримані в попередньому розділі результати дозволили нам з'ясувати деякі цікаві властивості перетворення Лапласа. Перетворення Лапласа таких функцій, як косинус, синус і експоненціальна функція, здається простішим, ніж перетворення статечної функції. Множення на $e^{at}$ в t-області відповідає зсуву s-області:

${\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s-a)t}\mathrm {d} t=F(s-a)$

Ця властивість відразу ж дозволяє знайти перетворення таких функцій, як $f(t)=e^{3t}\sin 2t$ , без необхідності обчислювати Інтеграл:
${\mathcal {L}}\{e^{3t}\sin 2t\}={\frac {2}{(s-3)^{2}+4}}$
Знайдемо перетворення Лапласа функції, помноженої на $t^{n}$ .спочатку розглянемо множення на $t$ . Згідно з визначенням, можна продифференцировать функцію під інтегралом і отримати дивно простий результат:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{tf(t)\}&#amp;=\int _{0}^{\infty }tf(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&#amp;=-\int _{0}^{\infty }f(t){\frac {\partial }{\partial s}}e^{-st}\mathrm {d} t\\&#amp;=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t\\&#amp;=-{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} s}}\end{aligned}}$

Повторюючи дану операцію, отримуємо остаточний результат:
${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}F}{\mathrm {d} s^{n}}}$

Хоча перестановка операторів інтегрування і диференціювання вимагає деякого додаткового обґрунтування, ми не будемо приводити його тут, а лише відзначимо, що дана операція коректна в тому випадку, якщо остаточний результат має сенс. Можна також взяти до уваги той факт, що змінні $s$ і $t$ не залежать один від одного.

За допомогою цього правила легко знайти перетворення таких функцій, як $t^{2}\cos 2t$ , без повторного інтегрування по частинах:
${\mathcal {L}}\{t^{2}\cos 2t\}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} s^{2}}}{\frac {s}{s^{2}+4}}={\frac {2s^{3}-24s}{(s^{2}+4)^{3}}}$
Знайдемо перетворення Лапласа функції $f(at)$ .це можна легко зробити за допомогою заміни змінної на u, використовуючи визначення перетворення:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{f(at)\}&#amp;=\int _{0}^{\infty }f(at)e^{-st}\mathrm {d} t,\ \ u=at\\&#amp;={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\infty }f(u)e^{-su/a}\mathrm {d} u\\&#amp;={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)\end{aligned}}$

Вище ми знайшли перетворення Лапласа функцій $\sin at$ і $\cos at$ безпосередньо з експоненційної функції. За допомогою цієї властивості можна отримати той же результат, якщо знайти дійсну і уявну частини ${\mathcal {L}}\{e^{it}\}={\frac {1}{s-i}}$ .
Знайдемо перетворення Лапласа похідної $f^{\prime }(t)$ . На відміну від попередніх прикладів, в даному випадку доведеться інтегрувати по частинах: