Перетворення Лапласа являє собою інтегральне перетворення, яке використовують для вирішення диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Це перетворення широко використовується у фізиці та інженерній справі.
Хоча можна використовувати відповідні таблиці, корисно розуміти перетворення Лапласа, щоб при необхідності ви могли провести його самостійно.
Попередні відомості
- Нехай дана функція
, визначена для
тоді Перетворенням Лапласа функції
є наступна функція кожного значення
, при якому інтеграл сходиться:
- Перетворення Лапласа переводить функцію з T-області (часової шкали) в S-область (область перетворення), де
представляє собою комплексну функцію комплексної змінної. Воно дозволяє перевести функцію в ту область, де можна легше знайти рішення.
- Очевидно, що перетворення Лапласа є лінійним оператором, тому якщо ми маємо справу з сумою доданків, кожен Інтеграл можна обчислити окремо.
- Пам'ятайте, що перетворення Лапласа працює лише в тих випадках, якщо Інтеграл сходиться. Якщо функція
має розриви, необхідно бути уважним і правильно розставити межі інтегрування, щоб уникнути невизначеності.
Кроки
Частина1З 3:
Основи
Частина1З 3:
- Підставте функцію в формулу перетворення Лапласа.теоретично перетворення Лапласа функції обчислюється дуже просто. Розглянемо як приклад функцію
, де
— комплексна константа з
- Оцініть інтеграл за допомогою доступних методів.у нашому прикладі оцінка дуже проста і можна обійтися простими обчисленнями. У більш складних випадках можуть знадобитися більш складні методи, наприклад інтегрування по частинах або диференціювання під знаком інтеграла. Обмежувальна умова
означає, що інтеграл сходиться, тобто його значення прагне до 0 при
- Врахуйте, що це дає нам два види перетворення Лапласа, з синусом і косинусом, так як згідно з формулою Ейлера
. У цьому випадку в знаменнику ми отримаємо
і залишається лише визначити дійсну і уявну частину. Можна також оцінити результат безпосередньо, але це зайняло б трохи більше часу.
- Розглянемо перетворення Лапласа статечної функції.для початку слід визначити перетворення статечної функції, оскільки властивість лінійності дозволяє знайти перетворення длявсіх поліномів. Степеневої є функція виду
де
— будь-яке додатне ціле число. Можна проінтегрувати по частинах, щоб визначити рекурсивне правило.
- Даний результат виражений в неявній формі, але якщо підставити кілька значень
можна встановити певну закономірність (спробуйте зробити це самостійно), яка дозволяє отримати наступний результат:
- Можна також визначити перетворення Лапласа дрібних ступенів за допомогою гамма-функції. Наприклад, таким способом можна знайти перетворення такої функції, як
- Хоча функції з дробовими ступенями повинні мати розрізи (як ви пам'ятаєте, будь-які комплексні числа
і
можна записати у вигляді
, оскільки
), їх завжди можна визначити таким чином, щоб розрізи лежали в лівій напівплощині, і тим самим уникнути проблем з аналітичністю.
Частина2З 3:
Властивості перетворення Лапласа
Частина2З 3:
- Знайдемо перетворення Лапласа функції, помноженої на
.отримані в попередньому розділі результати дозволили нам з'ясувати деякі цікаві властивості перетворення Лапласа. Перетворення Лапласа таких функцій, як косинус, синус і експоненціальна функція, здається простішим, ніж перетворення статечної функції. Множення на
в t-області відповідає зсуву s-області:
- Ця властивість відразу ж дозволяє знайти перетворення таких функцій, як
, без необхідності обчислювати Інтеграл:
- Знайдемо перетворення Лапласа функції, помноженої на
.спочатку розглянемо множення на
. Згідно з визначенням, можна продифференцировать функцію під інтегралом і отримати дивно простий результат:
- Повторюючи дану операцію, отримуємо остаточний результат:
- Хоча перестановка операторів інтегрування і диференціювання вимагає деякого додаткового обґрунтування, ми не будемо приводити його тут, а лише відзначимо, що дана операція коректна в тому випадку, якщо остаточний результат має сенс. Можна також взяти до уваги той факт, що змінні
і
не залежать один від одного.
- За допомогою цього правила легко знайти перетворення таких функцій, як
, без повторного інтегрування по частинах:
- Знайдемо перетворення Лапласа функції
.це можна легко зробити за допомогою заміни змінної на u, використовуючи визначення перетворення:
- Вище ми знайшли перетворення Лапласа функцій
і
безпосередньо з експоненційної функції. За допомогою цієї властивості можна отримати той же результат, якщо знайти дійсну і уявну частини
.
- Знайдемо перетворення Лапласа похідної
. На відміну від попередніх прикладів, в даному випадку доведеться інтегрувати по частинах: