Як знайти максимум або мінімум квадратичної функції

Метод1З 3:

Квадратична функція записана в стандартному вигляді

1. 
   Запишіть функцію в стандартному вигляді. Квадратична функція - це функція, рівняння якої включає змінну ${\displaystyle x^{2}}$. Рівняння може включати або не включати змінну ${\displaystyle x}$. Якщо рівняння включає змінну з показником ступеня більше 2, воно не описує квадратичну функцію. Якщо потрібно, приведіть подібні члени і переставте їх, щоб записати функцію в стандартному вигляді.^[1]

   • Наприклад, дана функція${\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}$. Складіть члени зі змінною ${\displaystyle x^{2}}$ та члени зі змінною ${\displaystyle x}$, щоб записати рівняння у стандартному вигляді:
     • ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}$
2. 
   Визначте напрямок параболи.графік квадратичної функції являє собою параболу. Гілки параболи спрямовані вгору або вниз. Якщо коефіцієнт ${\displaystyle a}$ при змінній ${\displaystyle x^{2}}$ позитивний, парабола спрямована вгору. Якщо коефіцієнт ${\displaystyle a}$ негативний, параболи спрямовані вниз. Наприклад: ^[2]

   • ${\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6}$. Тут ${\displaystyle a=2}$, тому парабола спрямована вгору.
   • ${\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8}$. Тут ${\displaystyle a=-3}$, тому парабола спрямована вниз.
   • ${\displaystyle f(x)=x^{2}+6}$. Тут ${\displaystyle a=1}$, тому парабола спрямована вгору.
   • Якщо парабола спрямована вгору, потрібно шукати її мінімум. Якщо парабола спрямована вниз, шукайте її максимум.
3. 
   Обчисліть-b/2A. Значення ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}$ – це координата ${\displaystyle x}$ вершини параболи. Якщо квадратична функція записується у стандартному вигляді ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$, скористайтесь коефіцієнтами при ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle x^{2}}$ наступним чином:

   • У функції${\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}$ коефіцієнти ${\displaystyle a=1}$ і ${\displaystyle b=10}$. Тому координату " x " вершини параболи обчисліть так:
     • ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
     • ${\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}$
     • ${\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}}$
     • ${\displaystyle x=-5}$
   • В якості другого прикладу розглянемо функцію${\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}$. Тут ${\displaystyle a=-3}$ і ${\displaystyle b=6}$. Тому координату " x " вершини параболи обчисліть так:
     • ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
     • ${\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}$
     • ${\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}$
     • ${\displaystyle x=-(-1)}$
     • ${\displaystyle x=1}$
4. 
   Знайдіть відповідне значення f(x).підставте знайдене значення " x " у вихідну функцію, щоб знайти відповідне значення f(x). Так ви знайдете мінімум або максимум функції.

   • У першому прикладі${\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}$ ви обчислили, що координата «х» вершини параболи дорівнює ${\displaystyle x=-5}$. У вихідній функції замість ${\displaystyle x}$ підставте ${\displaystyle -5}$, щоб знайти її максимальне значення:
     • ${\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}$
     • ${\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}$
     • ${\displaystyle f(x)=25-50-1}$
     • ${\displaystyle f(x)=-26}$
   • У другому прикладі${\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}$ Ви знайшли, що координата «х» вершини параболи дорівнює ${\displaystyle x=1}$. У вихідній функції замість ${\displaystyle x}$ підставте ${\displaystyle 1}$, щоб знайти її максимальне значення:
     • ${\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}$
     • ${\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}$
     • ${\displaystyle f(x)=-3+6-4}$
     • ${\displaystyle f(x)=-1}$
5. 
   Запишіть відповідь.Перечитайте умову задачі. Якщо потрібно знайти координати вершини параболи, у відповіді запишіть обидва значення ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ або ${\displaystyle f(x)}$). Якщо необхідно обчислити максимум або мінімум функції, у відповіді запишіть тільки значення ${\displaystyle y}$ (або ${\displaystyle f(x)}$). Ще раз подивіться на знак коефіцієнта ${\displaystyle a}$, щоб перевірити, що ви вирахували: максимум або мінімум.

   • У першому прикладі${\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}$ значення ${\displaystyle a}$ позитивне, тому ви вирахували мінімум. Вершина параболи лежить в точці з координатами ${\displaystyle (-5,-26)}$, мінімальне значення функції дорівнює ${\displaystyle -26}$.
   • У другому прикладі${\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}$ значення ${\displaystyle a}$ негативне, тому ви знайшли максимум. Вершина параболи лежить в точці з координатами ${\displaystyle (1,-1)}$, а максимальне значення функції дорівнює ${\displaystyle -1}$.