Як розв'язувати диференціальні рівняння-

Диференціальне рівняння-це рівняння, в яке входять функція і одна або кілька її похідних. У більшості практичних завдань функції являють собою фізичні величини, похідні відповідають швидкостям зміни цих величин, а рівняння визначає зв'язок між ними.

У даній статті розглянуто методи розв'язання деяких типів звичайних диференціальних рівнянь, розв'язки яких можуть бути записані у виглядіЕлементарних функцій, тобто поліноміальних, експоненціальних, логарифмічних і тригонометричних, а також зворотних їм функцій. Багато з цих рівнянь зустрічаються в реальному житті, хоча більшість інших диференціальних рівнянь не можна вирішити даними методами, і для них відповідь записується у вигляді спеціальних функцій або статечних рядів, або знаходиться чисельними методами.

Для розуміння даної статті необхідно володіти диференціальним і інтегральним обчисленням, а також мати деяке уявлення про приватні похідних. Рекомендується також знати основи лінійної алгебри в застосуванні до диференціальних рівнянь, особливо до диференціальних рівнянь другого порядку, хоча для їх вирішення достатньо знання диференціального та інтегрального числення.

Попередні відомості

Диференціальні рівняння мають велику класифікацію. У цій статті розповідається про звичайні диференціальні рівняння, тобто про рівняння, в які входить функція однієї змінної і її похідні. Звичайні диференціальні рівняння набагато легше зрозуміти і вирішити, ніждиференціальні рівняння в приватних похідних, в які входять функції декількох змінних. У даній статті не розглядаються диференціальні рівняння в приватних похідних, оскільки методи вирішення цих рівнянь зазвичай визначаються їх конкретним видом.
- Нижче наведено кілька прикладів звичайних диференціальних рівнянь.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=ky$
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+kx=0$
- Нижче наведено кілька прикладів диференціальних рівнянь у приватних похідних.
  - ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0$
  - ${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$
Порядок диференціального рівняння визначається по порядку старшої похідної, що входить в дане рівняння. Перше з наведених вище звичайних диференціальних рівнянь має перший порядок, в той час як друге відноситься до рівнянь другого порядку. Ступенем диференціального рівняння називається найвищий ступінь, в яку зводиться один з членів цього рівняння.
Наприклад, наведене нижче рівняння має третій порядок і другу ступінь.
$\left({\frac {\mathrm {d} ^{3}y}{\mathrm {d} x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$
Диференціальне рівняння є лінійним диференціальним рівнянням в тому випадку, якщо функція і всі її похідні стоять в першого ступеня. В іншому випадку рівняння є нелінійним диференціальним рівнянням. Лінійні диференціальні рівняння примітні тим, що з їх рішень можна скласти лінійні комбінації, які також будуть рішеннями даного рівняння.
- Нижче наведено кілька прикладів лінійних диференціальних рівнянь.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
  - $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
- Нижче наведено кілька прикладів нелінійних диференціальних рівнянь. Перше рівняння є нелінійним через доданок з синусом.
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0$
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+tx^{2}=0$
Загальне рішення звичайного диференціального рівняння не є єдиним, воно включає в себе довільні постійні інтегрування. У більшості випадків число довільних постійних дорівнює порядку рівняння. На практиці значення цих констант визначаються за заданими початковими умовами, тобто за значеннями функції та її похідних при $x=0.$ число початкових умов, які необхідні для знаходження Приватного рішення диференціального рівняння, у більшості випадків також дорівнює порядку даного рівняння.
- Наприклад, в даній статті буде розглянуто рішення наведеного нижче рівняння. Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку. Його загальне рішення містить дві довільні постійні. Для знаходження цих постійних необхідно знати початкові умови при $x(0)$ і $x'(0).$ зазвичай початкові умови задаються в точці $x=0,$ , хоча це і не обов'язково. У даній статті буде розглянуто також, як знайти приватні рішення при заданих початкових умовах.
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+k^{2}x=0$
  - $x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx$

Частина1 З 2:

Рівняння першого порядку

Лінійні рівняння першого порядку.в даному розділі розглянуто методи розв'язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку в загальних і спеціальних випадках, коли деякі члени дорівнюють нулю. Припустимо, що $y=y(x),$ $p(x)$ і $q(x)$ є функціями $x.$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
$p(x)=0.$ згідно з однією з основних теорем математичного аналізу, інтеграл від похідної функції також є функцією. Таким чином, досить просто проінтегрувати рівняння, щоб знайти його рішення. При цьому слід врахувати, що при обчисленні невизначеного інтеграла з'являється довільна постійна.
- $y(x)=\int q(x)\mathrm {d} x$
$q(x)=0.$ використовуємо метод Розділення змінних. При цьому різні змінні переносяться в різні боки рівняння. Наприклад, можна перенести всі члени з $y$ в одну, а всі члени з $x$ в іншу сторону рівняння. Можна переносити також члени $\mathrm {d} x$ і $\mathrm {d} y$ , які входять у вирази похідних, однак слід пам'ятати, що це всього лише умовне позначення, яке зручно при диференціюванні складної функції. Обговорення цих членів, які називаються диференціалами, виходить за рамки даної статті.
- По-перше, необхідно перенести змінні по різні сторони знака рівності.
  - ${\frac {1}{y}}\mathrm {d} y=-p(x)\mathrm {d} x$
- Проінтегруємо обидві сторони рівняння. Після інтегрування з обох сторін з'являться довільні постійні, які можна перенести в праву частину рівняння.
  - $\ln y=\int -p(x)\mathrm {d} x$
  - $y(x)=e^{-\int p(x)\mathrm {d} x}$
- Приклад 1.1. На останньому кроці ми використовували правило $e^{A+b}=e^{a}e^{b}$ і замінили $e^{C}$ на $C$ , оскільки це також довільна стала інтегрування.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-2y\sin x=0$
  - ${\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}\mathrm {d} y&#amp;=\sin x\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}\ln y&#amp;=-\cos x+C\\\ln y&#amp;=-2\cos x+C\\y(x)&#amp;=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}$
$p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.$ для знаходження спільного рішення ми ввели Інтегруючий множник $\mu (x)$ у вигляді функції від $x$ , щоб звести ліву частину до загальної похідної і таким чином вирішити рівняння.
- Помножимо обидві сторони на $\mu (x)$
  - $\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py=\mu q$
- Щоб звести ліву частину до загальної похідної, необхідно зробити наступні перетворення:
  - ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mu y)={\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}y+\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py$
- Остання рівність означає, що ${\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}=\mu p$ . Це інтегруючий множник, якого достатньо для вирішення будь-якого лінійного рівняння першого порядку. Тепер можна вивести формулу розв'язку даного рівняння відносно $\mu ,$ хоча для тренування корисно виконати всі проміжні обчислення.
  - $\mu (x)=e^{\int p(x)\mathrm {d} x}$
- Приклад 1.2.в даному прикладі розглянуто, як знайти приватне рішення диференціального рівняння із заданими початковими умовами.
  - $t{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3$
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2}{t}}y=t$
  - $\mu (x)=e^{\int p(t)\mathrm {d} t}=e^{2\ln t}=t^{2}$
  - ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(t^{2}y)&#amp;=t^{3}\\t^{2}y&#amp;={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&#amp;={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}$
  - $3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8$
  - $y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}$
Рішення лінійних рівнянь першого порядку (запис Інтуїта – національного Відкритого університету).
Нелінійні рівняння першого порядку.в даному розділі розглянуто методи розв'язання деяких нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Хоча і не існує загального методу вирішення таких рівнянь, деякі з них можна вирішити за допомогою наведених нижче методів.

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=f(x,y)$
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=h(x)g(y).$ якщо функцію $f(x,y)=h(x)g(y)$ можна розділити на функції однієї змінної, таке рівняння називається диференціальним рівнянням з розділяються змінними. В цьому випадку можна скористатися наведеним вище методом:

Як розв'язувати диференціальні рівняння-

Попередні відомості

Кроки

Частина1 З 2:

Рівняння першого порядку

Ще почитати:

Як розв'язувати диференціальні рівняння-

Попередні відомості

Кроки

Частина1 З 2: Рівняння першого порядку

Ще почитати:

Частина1 З 2:

Рівняння першого порядку