Перетворення Фур'є-це інтегральне перетворення, яке знайшло широке застосування у фізиці та інженерних розрахунках. Його часто використовують для аналізу сигналів і вирішення деяких диференціальних рівнянь в приватних похідних.
Критерії збіжності перетворення Фур'є (а саме, що функція повинна бути абсолютно інтегрованою в дійсній області) досить суворі через відсутність члена з експоненціальним загасанням, який є в перетворенні Лапласа, і це означає, що такі функції, як поліноми, експоненти і тригонометричні функції, не мають перетворення Фур'є в звичайному сенсі. Проте за допомогою дельта-функції Дірака можна здійснити перетворення Фур'є цих функцій коректним чином.
Така процедура може знадобитися навіть для найпростіших функцій, тому для кращого розуміння викладеного нижче матеріалу бажано ознайомитися з властивостямиперетворення Лапласа. Крім того, краще почати зі властивостей перетворення Фур'є, і лише потім переходити до розгляду конкретних прикладів.
Попередні відомості
- Перетворенням Фур'є функції< span class= "mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y "style=" display: none;" data-original-text="f(t)"> називається наступна функція (за умови, що інтеграл сходиться):
- Зворотне перетворення Фур'є визначається схожим чином. Зверніть увагу на симетрію між прямим і зворотним перетворенням Фур'є, яка відсутня в разі перетворення Лапласа.
- Існує безліч інших форм запису перетворення Фур'є. Наведене вище визначення з використанням кутової частоти є однією з них, і ми будемо використовувати його в даній статті. У розділі "Поради" наведено дві інші часто використовувані форми запису.
- Пряме і зворотне перетворення Фур'є є лінійними операторами, тому для них виконуються правила суперпозиції і пропорційності:
Кроки
Частина1З 3:
Властивості перетворення Фур'є
- Знайдемо перетворення Фур'є похідної. просте інтегрування по частинах і облік того, що повинна прагнути до нуля на нескінченності, дають наступний результат:
- У загальному випадку для похідної-го порядку можна записати:
- З цього випливає цікава властивість, яка відома в квантовій механіці-оператор імпульсу в просторі координат (ліворуч) і просторі імпульсів (праворуч) має наступний вигляд:
- Знайдемо перетворення Фур'є функції, помноженої на.симетрія перетворення Фур'є дає аналогічну властивість у просторі частот. Спочатку розглянемо випадок , а потім узагальнимо отриманий результат.
- У загальному випадку для отримуємо:
- Ми відразу ж отримуємо результат, який свідчить про симетрію перетворення Фур'є (у разі перетворення Лапласа така симетрія не реалізується повністю для змінних і ):
- Знайдемо перетворення Фур'є функції, помноженої на. множення на в просторі часу відповідає зсуву в частотному просторі:
- Знайдемо перетворення Фур'є функції зі зрушенням аргументу. зрушення в тимчасовому просторі відповідає множенню на в частотному просторі, що знову показує симетрію між і це легко отримати за допомогою простої заміни змінних:
- Знайдемо перетворення Фур'є функції. У цьому випадку маємо властивість розтягування, яке спостерігається і для перетворення Лапласа:
- Знайдемо перетворення Фур'є згортки двох функцій. як і у випадку перетворення Лапласа, згортка в реальному просторі відповідає множенню в просторі Фур'є:
- Розглянемо перетворення Фур'є парних і непарних функцій. парні і непарні функції володіють особливою симетрією. Для отримання результату використовуємо формулу Ейлера і властивості множення парних і непарних функцій.
- Перетворення Фур'є парної функції також є парної функцією, оскільки Інтеграл чіткий по завдяки Крім того, якщо функція є дійсною, її перетворення також дійсно.
- Перетворення Фур'є непарної функції також є непарною функцією, оскільки Інтеграл непарний по завдяки Крім того, якщо функція дійсна, те її перетворення Фур'є є чисто уявним.
- Перетворення Фур'є парної функції також є парної функцією, оскільки Інтеграл чіткий по завдяки Крім того, якщо функція є дійсною, її перетворення також дійсно.
Частина2З 3:
Проведення перетворення Фур'є
- Підставте функцію в формулу для перетворення Фур'є.як і у випадку перетворення Лапласа, перетворення Фур'є функції можна виконати безпосередньо за допомогою його визначення. Як приклад розглянемо функцію , яка однозначно задовольняє критеріям збіжності.