Як розв'язувати рівняння з модулем: 10 кроків

Рівнянням з модулем (абсолютною величиною) є будь-яке рівняння, в якому змінна або вираз укладено в модульні дужки. Абсолютна величина змінної $x$ позначається як $|x|$ , а значення модуля завжди позитивно (за винятком нуля, який не є ні позитивним, ні негативним числом). Рівняння з абсолютною величиною вирішується як будь-яке інше математичне рівняння, але рівняння з модулем може мати два кінцевих результату, тому що потрібно вирішити позитивне і негативне рівняння.

Частина1З 3:

Запис рівняння

Зрозумійте математичне визначення модуля. він визначається так: $|p|={\begin{cases}p&#amp;{\text{if }}p\geq 0\\-p&#amp;{\text{if }}p&#lt;0\end{cases}}$ . Це означає, що якщо число $p$ позитивно, модуль дорівнює $p$ . Якщо число $p$ негативно, модуль дорівнює $-p$ . Так як мінус на мінус дає плюс, модуль $-p$ позитивний.^{[1]X
Джерело інформації}
- Наприклад, |9| = 9; |-9| = -(- 9) = 9.
Усвідомте поняття абсолютної величини з геометричної точки зору.Модуль числа дорівнює відстані між початком координат і цим числом.^{[2]X
Джерело інформації} Модуль позначається модульними лапками, в які полягає число, змінна або вираз ( $|x|$ ). Модуль числа завжди позитивний.^{[3]X
Джерело інформації}
Наприклад, $|-3|=3$ і $|3|=3$ . Обидва числа -3 і 3 знаходяться на відстані трьох одиниць від 0.
У рівнянні ізолюйте модуль. абсолютна величина повинна знаходитися на одній стороні рівняння. Будь-які числа або члени поза модульних дужок потрібно перенести на іншу сторону рівняння.^{[4]X
Джерело інформації} зверніть увагу, що модуль не може дорівнювати негативному числу, тому, якщо після ізолювання модуля він дорівнює негативному числу, таке рівняння не має рішення.^{[5]X
Джерело інформації}
- Наприклад, дано рівняння $|6x-2|+3=7$ ; щоб ізолювати модуль, з обох сторін рівняння відніміть 3:
  $|6x-2|+3=7$
  $|6x-2|+3-3=7-3$
  $|6x-2|=4$

Частина2З 3:

Рішення рівняння

Запишіть рівняння для позитивного значення.рівняння з модулем мають два рішення. Щоб записати позитивне рівняння, позбудьтеся від модульних дужок, а потім вирішіть отримане рівняння (як завжди).^{[6]X
Джерело інформації}
- Наприклад, позитивним рівнянням для $|6x-2|=4$ є $6x-2=4$ .
Вирішіть позитивне рівняння.для цього обчисліть значення змінної за допомогою математичних операцій. Так можна знайти перше можливе рішення рівняння.
- Наприклад:
  $6x-2=4$
  $6x-2+2=4+2$
  $6x=6$
  ${\frac {6x}{6}}={\frac {6}{6}}$
  $x=1$
Запишіть рівняння для від'ємного значення. щоб записати негативне рівняння, позбудьтеся від модульних дужок, а на іншій стороні рівняння перед числом або виразом поставте знак «мінус».^{[7]X
Джерело інформації}
- Наприклад, негативним рівнянням для $|6x-2|=4$ є $6x-2=-4$ .
Вирішіть негативне рівняння.для цього обчисліть значення змінної за допомогою математичних операцій. Так можна знайти друге можливе рішення рівняння.
- Наприклад:
  $6x-2=-4$
  $6x-2+2=-4+2$
  $6x=-2$
  ${\frac {6x}{6}}={\frac {-2}{6}}$
  $x={\frac {-1}{3}}$

Частина3З 3:

Перевірка рішення

Перевірте результат рішення позитивного рівняння. для цього отримане значення підставте у вихідне рівняння^{[8]X
Джерело інформації}, тобто підставте значення $x$ , знайдене в результаті рішення позитивного рівняння, у вихідне рівняння з модулем. Якщо дотримується рівність, рішення вірно.
- Наприклад, якщо в результаті рішення позитивного рівняння Ви знайшли, що $x=1$ , підставте $1$ в вихідне рівняння:
  $|6x-2|=4$
  $|6(1)-2|=4$
  $|6-2|=4$
  $|4|=4$
Перевірте результат рішення від'ємного рівняння.якщо одне з рішень правильне, це ще не означає, що і друге рішення буде вірним. Тому підставте значення $x$ , знайдене в результаті рішення негативного рівняння, у вихідне рівняння з модулем.
- Наприклад, якщо в результаті рішення негативного рівняння Ви знайшли, що $x={\frac {-1}{3}}$ , підставте ${\frac {-1}{3}}$ в вихідне рівняння:
  $|6x-2|=4$
  $|6({\frac {-1}{3}})-2|=4$
  $|-2-2|=4$
  $|-4|=4$
Зверніть увагу на дійсні рішення.рішення рівняння є дійсним (вірним), якщо при підстановці у вихідне рівняння дотримується рівність.Майте на увазі, що рівняння може мати два, одне або жодного дійсного рішення.
- У нашому прикладі $|4|=4$ і $|-4|=4$ , тобто дотримуються рівності і обидва рішення є дійсними. Таким чином, рівняння $|6x-2|+3=7$ має два можливих рішення: $x=1$ , $x={\frac {-1}{3}}$ .