1. Головна
    2. Геометрія
    3. Як знайти гіпотенузу-

Як знайти гіпотенузу-

Всі прямокутні трикутники мають один прямий кут (90 градусів), а протилежна йому сторона називається гіпотенузою.[1] гіпотенуза-найдовша сторона трикутника, і знайти її можна різними способами. У цій статті ми розповімо вам, як знайти гіпотенузу по теоремі Піфагора (коли відомі довжини двох інших сторін трикутника), по теоремі синусів (коли відомі довжина катета і кут) і в деяких окремих випадках (часто такі завдання зустрічаються на контрольних і тестах).

Метод1З 3:
Теорема Піфагора

  1. Теорема Піфагора пов'язує всі сторони прямокутного трикутника. [2] згідно з даною теоремою, в будь-якому прямокутному трикутнику з катетами «А " і "b «і гіпотенузою» с": A2 + b2 = c2.[3]
  2. Переконайтеся, що даний Вам трикутник є прямокутним, так як теорема Піфагора застосовна тільки до прямокутних трикутників.у прямокутних трикутниках один з трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.
    • Прямий кут в прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата.
  3. Позначте сторони трикутника. катети позначте як «А» і «b» (катети — сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу — як " с " (гіпотенуза — найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута). Потім підставте дані вам значення в формулу.
    • Наприклад, катети трикутника рівні 3 і 4. У цьому випадку а = 3, b = 4, а формула виглядає так:32 + 42 = c2.
  4. Зведіть в квадрат значення катетів (»a «і»b").для цього просто помножте число саме на себе:
    • Якщо a = 3, ТО a2 = 3 x 3 = 9. Якщо b = 4, то b2 = 4 x 4 = 16.
    • Підставте ці значення в формулу:9 + 16 = с2.
  5. Складіть знайдені квадрати катетів (a2 і b2), щоб обчислити квадрат значення гіпотенузи (з2).
    • У нашому прикладі9 + 16 = 25, тому З2 = 25.
  6. Знайдіть квадратний корінь з2 .використовуйте калькулятор, щоб витягти квадратний корінь зі знайденого значення. Так ви обчислите гіпотенузу трикутника.
    • У нашому прикладіЗ2 = 25 . Квадратний корінь з 25 дорівнює 5 (так як 5 х 5 = 25, тому √25 = 5). Це означає, що гіпотенуза С = 5.

Метод2 З 3:
Приватні випадки

  1. Визначення піфагорової трійки. піфагорова трійка - це три числа — довжини трьох сторін), які задовольняють теоремі Піфагора. Дуже часто трикутники з такими сторонами наводяться в підручниках і на тестах. Якщо ви запам'ятаєте перші кілька піфагорових трійок, ви заощадите багато часу на тестах або іспитах, тому що зможете обчислити гіпотенузу, просто поглянувши на довжини катетів.[4]
    • Перша піфагорова Трійка:3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Якщо дано трикутник з катетами 3 і 4, то ви можете з упевненістю заявити, що гіпотенуза дорівнює 5 (без необхідності робити будь-які розрахунки).
    • Піфагорові трійки працюють навіть в тому випадку, коли числа помножені або розділені на один коефіцієнт. Наприклад, якщо катети рівні6 і 8, гіпотенуза дорівнює 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). Те ж саме вірно для 9-12-15 і навіть для 1,5-2-2,5.
    • Друга піфагорова Трійка:5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Також до цієї трійки відносяться, наприклад, числа 10-24-26 і 2,5-6-6,5.
  2. Рівнобедрений прямокутний трикутник.це такий трикутник, кути якого рівні 45,45 і 90 градусам. Співвідношення між сторонами цього трикутника дорівнює 1:1:√2. Це означає, що гіпотенуза в такому трикутнику дорівнює добутку катета і квадратного кореня з 2.
    • Щоб обчислити гіпотенузу такого трикутника, просто помножте довжину будь-якого катета на √2.[5]
    • Це співвідношення особливо зручно, коли в задачах замість числових значень даються змінні.
  3. Половина рівностороннього прямокутного трикутника.це такий трикутник, кути якого рівні 30,60 і 90 градусам. Співвідношення між сторонами цього трикутника одно 1:√3:2або Х:х√3: 2х. Щоб знайти гіпотенузу в такому трикутнику виконайте одну з наступних дій:[6]
    • Якщо вам дано короткий катет (протилежний кутку в 30 градусів), просто помножте довжину цього катета на 2, щоб знайти довжину гіпотенузи. Наприклад, якщо короткий катет дорівнює4, то гіпотенуза дорівнює 8.
    • Якщо вам дано довгий катет (протилежний кут в 60 градусів), просто помножте довжину цього катета на2/√3, щоб знайти довжину гіпотенузи. Наприклад, якщо короткий катет дорівнює 4, то гіпотенуза дорівнює 4,62.

Метод3 З 3:
Теорема синусів

  1. Зрозумійте, що означає "синус".Синус, косинус і тангенс кута-це основні тригонометричні функції, що зв'язують кути і сторони в прямокутному трикутнику. Синус кута дорівнює відношенню протилежної сторони до гіпотенузи. Позначається синус як Sin .[7]
  2. Навчіться обчислювати синус. щоб обчислити синус, на калькуляторі знайдіть клавішу Sin , натисніть її, а потім введіть значення кута. У деяких калькуляторах спочатку потрібно натиснути клавішу переходу до роботи з функціями, а потім натиснути клавішу Sin. Тому поекспериментуйте з калькулятором або перевірте його документацію.
    • Щоб знайти синус кута в 80 градусів, натисніть "sin», «8», «0», «=» або натисніть" 8», «0», « sin», " = " (відповідь: -0,9939).
    • Ви також можете знайти онлайн-калькулятор, ввівши в пошуковій системі " обчислення синуса "(без лапок).[8]
  3. Запам'ятайте теорему синусів.Теорема синусів є корисним інструментом для обчислення кутів і сторін будь-якого трикутника. Зокрема, вона допоможе вам знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо вам дано катет і кут, відмінний від прямого. Згідно з теоремою синусів, в будь-якому трикутнику зі сторонами A, B, C і кутами A, B, C вірно рівність A /sin a = B /sin b = C /sin з.[9]
    • Теорема синусів застосовується до будь-яких трикутників, а не тільки до прямокутних (але тільки в прямокутному трикутнику є гіпотенуза).
  4. Позначте сторони трикутника через «а» (відомий катет), «b» (невідомий катет), «с» (гіпотенуза).потім позначте кути трикутника через "а «(навпроти катета» а«),» В «(навпроти катета» b«),» С" (навпроти гіпотенузи).
  5. Знайдіть третій кут. якщо вам дано один з гострих кутів прямокутного трикутника (А або В), а другий кут завжди дорівнює 90 градусам (С = 90), то третій кут обчислюється за формулою 180 - (90 + А) = B (пам'ятайте, що сума кутів в будь-якому трикутнику дорівнює 180 градусам). При необхідності рівняння можна змінити і так: 180 - (90 + B) = A.
    • Наприклад, якщо кутA = 40 градусам, то B = 180 - (90 + 40) = 180 - 130 = 50 градусів.
    • У нашому прикладі припустимо, що катет а = 10, а кути рівні C = 90, A = 40, в = 50.
  7. Підставте дані і знайдені значення в теорему синусів, щоб знайти гіпотенузу:Катет «а»/синус кута «A» = гіпотенуза «с»/синус кута «С». При цьому sin 90 = 1. Таким чином, рівняння спрощується до: А/sinA = с/1або С = а/sinA.
  8. Розділіть довжину катета «а «на синус кута» а", щоб знайти довжину гіпотенузи.для цього спочатку знайдіть синус кута, а потім виконайте поділ. Або ви можете скористатися калькулятором, ввівши 10/(sin40) або 10/(40sin) (Не забудьте про дужки).
    • У нашому прикладі sin 40 = 0,64278761, а с =10/0,64278761 = 15,6.

Джерела

  1. ↑ Http://www.mathsisfun.com/definitions/hypotenuse.html
  2. ↑ Http://mathematica.ludibunda.ch/pythagoras6.html
  3. ↑ Http://www.wikihow.com/Use-the-Pythagorean-Theorem
  4. ↑ Http://www.dummies.com/how-to/content/working-with-pythagorean-triple-triangles.html
  5. ↑ Http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/att2/ltri45.htm
  6. ↑ Http://www.dummies.com/how-to/content/identifying-the-30-60-90-degree-triangle.html
  7. ↑ Https://www.mathsisfun.com/definitions/sine.html
  8. ↑ Http://www.rapidtables.com/calc/math/Sin_Calculator.htm
  9. ↑ Http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-sine-law.html

Ще почитати: