Нескінченні числові ряди нерідко призводять в замішання і відлякують, оскільки їх досить важко уявити собі подумки. З першого погляду складно сказати, сходиться ряд чи ні; кілька століть тому відповідь на таке питання зайняв би багато годин. Однак в наш час, завдяки зусиллям багатьох видатних математиків, ми володіємо набором нескладних прийомів, легко дозволяють вирішити задачу. Ці прийоми призначені для отримання відповіді на питання, сходиться ряд чи ні, а не для знаходження його суми. Для їх розуміння ви повинні також володіти основами обчислень.
Кроки
Зробіть попередню перевірку. є проста теорема, яка говорить, що якщо нескінченна сума функції f сходиться, то межа функції f дорівнює 0. Таким чином, якщо ми маємо функцію x^2, то у неї немає межі, і її сума до нескінченності розходиться; з іншого боку, межа функції 1/x дорівнює 0, так що її сума може сходитися. Якщо межа не дорівнює нулю, ми знаємо, що ряд розходиться. Увага: зворотне не вірно, тобто те, що межа дорівнює нулю, зовсім не означає, що ряд обов'язково сходиться. У цьому випадку необхідна подальша перевірка.-
Геометричні ряди.для цих рядів існує дуже просте правило, так що перш за все визначте, чи не є ваш ряд геометричним. Геометричний ряд - це послідовність чисел, кожен член якої можна представити у вигляді r^k, де k-змінна, а r-число, що лежить в інтервалі між -1 і 1. Геометричні ряди завжди сходяться. Більш того, ви легко можете визначити суму такого ряду, яка дорівнює 1/(1-r).
-
Узагальнені гармонійні ряди, або ряди Діріхле.Таким рядом називається сума функцій виду 1/(x^p), де x -- будь-яке число. Теорема для цих рядів говорить, що якщо p більше одиниці, ряд сходиться, якщо ж p менше або дорівнює одиниці, ряд розходиться. Це означає, що згаданий вище ряд 1 / x розходиться, так як його можна представити у вигляді 1/(x^1), де p=1. Цей ряд називається гармонійним. Ряд 1 / (X^2) сходиться, оскільки 2 більше 1.
- Інші ряди. якщо ряд не належить одному з типів, зазначених вище, застосуйте до нього методи, наведені нижче. Якщо не допоміг один метод, застосуйте наступний, оскільки не завжди ясно, який з них слід вибрати. Хоча і не існує однозначних правил, з часом ви зможете краще орієнтуватися у виборі потрібного методу.
- Метод порівняння. Припустимо, у вас є два ряди, що складаються з позитивних членів, a(n) і b (n). Тоді: 1) якщо нескінченна сума b(n) сходиться, і a(n) менше ніж b(n) (для будь-якого досить великого n), тоді сума a(n) також сходиться; 2) якщо b(n) розходиться, і a(n)&#gt;b(n), тоді a(n) теж розходиться. Наприклад, у вас є ряд 2 / x; ми можемо порівняти його з рядом 1 / x. оскільки ми вже знаємо, що ряд 1 / x розходиться, і 2/x &#gt; 1/x, звідси випливає, що ряд 2 / x також розходиться. Таким чином, ідея методу полягає в тому, щоб визначити, сходиться чи ні досліджуваний ряд, використовуючи вже відомий ряд.
- Метод порівняння меж. Якщо a (n) і b (n) є рядами позитивних чисел, і якщо існує межа a(n)/b(n), який більше 0, тоді обидва ряди або сходяться, або розходяться. У цьому випадку досліджуваний ряд також порівнюється з відомим; метод полягає в тому, щоб підібрати відомий ряд, максимальний ступінь якого відповідає ступеню досліджуваного ряду. Наприклад, якщо ви розглядаєте ряд 1/(x^3+2x+1), має сенс порівняти його з рядом 1/(x^3).
- Перевірка інтегралом. Якщо функція більше нуля, безперервна і зменшується при значеннях x більше або рівних 1, тоді нескінченний ряд f (n) сходиться, якщо певний інтеграл від 1 до нескінченності від функції f(x) існує і має кінцеве значення; в іншому випадку ряд розходиться. Таким чином, досить проінтегрувати функцію і знайти межу при x, що прагне до нескінченності: якщо межа кінцевий, ряд сходиться, якщо ж межа дорівнює нескінченності, ряд розходиться.
- Знакозмінні ряди. Якщо a (k) &#gt;a(k+1)&#gt; 0 при досить великих k, і межа a(n) дорівнює 0, тоді знакозмінний ряд (-1)^n a(n) сходиться. Простіше кажучи, припустимо, що ваш ряд є знакозмінним (тобто його члени поперемінно позитивні і негативні); в цьому випадку відкиньте знакозмінну частину функції і знайдіть межу того, що залишилося-якщо межа кінцевий, ряд сходиться.
- Метод відношення. Якщо дано нескінченний ряд a(n), Знайдіть наступний член ряду a(n+1). Потім обчисліть відношення подальшого члена до попереднього a(n + 1) / a(n), в разі необхідності взявши його абсолютне значення. Знайдіть межу цього відношення при n прагне до нескінченності; якщо ця межа існує і кінцевий, це означає наступне: 1) якщо межа менше одиниці, ряд сходиться; 2) якщо межа більше одиниці, ряд розходиться; 3) якщо межа дорівнює одиниці, даний спосіб недостатній (ряд може як сходитися, так і розходитися).
- Це основні методи визначення збіжності рядів, і вони надзвичайно корисні. Якщо жоден з них не допоміг, цілком ймовірно, що завдання не має рішення, або ж ви десь допустили помилку. Ці способи можуть бути використані і для інших рядів, таких як статечні ряди, ряди Тейлора і т. д. Володіння даними методами складно переоцінити, оскільки інших простих способів визначити збіжність ряду не існує.
- Метод порівняння. Припустимо, у вас є два ряди, що складаються з позитивних членів, a(n) і b (n). Тоді: 1) якщо нескінченна сума b(n) сходиться, і a(n) менше ніж b(n) (для будь-якого досить великого n), тоді сума a(n) також сходиться; 2) якщо b(n) розходиться, і a(n)&#gt;b(n), тоді a(n) теж розходиться. Наприклад, у вас є ряд 2 / x; ми можемо порівняти його з рядом 1 / x. оскільки ми вже знаємо, що ряд 1 / x розходиться, і 2/x &#gt; 1/x, звідси випливає, що ряд 2 / x також розходиться. Таким чином, ідея методу полягає в тому, щоб визначити, сходиться чи ні досліджуваний ряд, використовуючи вже відомий ряд.
Поради
- Завжди знаходьте межу і перевіряйте, чи не відноситься ваш ряд до геометричних або узагальнених гармонійних рядів, перш ніж використовувати метод порівняння. Це дозволить вам зберегти багато часу і сил.
Попередження
- Не намагайтеся вирішити будь-яке завдання за допомогою калькулятора.
